|
Arabic
Bengali
Chinese
English
French
German
Hebrew
Hindi
Italian
Japanese
Korean
Malay
Polish
Portuguese
Spanish
Turkish
Ukrainian
Vietnamese
ВАЖЛИВІ НАУКОВІ ВІДКРИТТЯ
Неевклідова геометрія. Історія та суть наукового відкриття
Довідник / Найважливіші наукові відкриття За визначенню Евкліда паралельні лінії - прямі, що лежать в одній площині і ніколи не зустрічаються, хоч би як далеко ми їх продовжували. Але вже найдавніші коментарі Евкліда Посидоній (ІІ століття до нашої ери), Гемінус (I століття до нашої ери), Птолемей (ІІ століття нашої ери) - не вважали п'ятий постулатум Евкліда, який мав ту саму очевидність, як інші постулатуми та аксіоми Евкліда, і намагалися або вивести його, як наслідок інших положень, або замінити визначення паралельних, дане Евклідом, іншим визначенням. У другій половині XVII століття Лейбніц також критично ставився до основних положень Евкліда. Як відомо, він хотів також побудувати суто геометричний аналіз, який безпосередньо виражав би властивості положення, подібно до того, як алгебра виражає величину. Але тільки в першій половині XVIII століття приходить думка застосувати до питання про паралельні лінії та систематично провести в теорії паралельних ліній той метод доказу від протилежного, яким так часто користувалися грецькі математики. Ця геніальна ідея належала Саккері. У творі, що з'явився в рік його смерті "Евклід, позбавлений будь-якої плями", Саккері бере вихідним пунктом чотирикутник, якого дві протилежні сторони, перпендикулярні до основи, рівні між собою. У такому чотирикутнику кути, що утворюються рівними сторонами з стороною, протилежною підставі, рівні, і доказ цієї властивості чотирикутника не залежить від постулатуму Евкліда. Якщо вони прямі, то постулатум Евкліда доведено, тому що в цьому випадку сума кутів трикутника дорівнює двом прямим. Але Саккері (і в цьому полягає його оригінальна геніальна думка) робить і дві інші гіпотези - гіпотезу гострого і гіпотезу тупого кута, виводить з цих гіпотез слідства і намагається довести неможливість цих наслідків, тобто допустимість тільки однієї гіпотези прямого кута. Йому легко вдається довести, що гіпотеза тупого кута неприпустима, оскільки призводить до протиріч. Щоб знайти таку ж суперечність у гіпотезі гострого кута, він виводить ряд чудових теорем, які потім були знову доведені Лежандром. Такі, наприклад, теореми, якими якщо та чи інша чи третя гіпотеза має місце одному чотирикутника, вона має місце й у всякого іншого. Через три роки після її появи, у 1766 році, Ламберт ставить те саме завдання, що і Саккері. Замість чотирикутника з двома прямими кутами та двома рівними сторонами Ламберт розглядає чотирикутник із трьома прямими кутами і робить три гіпотези щодо четвертого кута. Його виклад має деякі особливості порівняно з викладом Сакері: він уникає вдаватися до міркувань, заснованих на безперервності. З того, що в гіпотезах тупого і гострого кута немає подібності фігур, Ламберт виводить висновок про існування абсолютної міри. У 1799 році геніальний математик Карл Гаус пішов тим шляхом, яким до нього йшли Саккері і Ламберт, - шляхом планомірного виведення всіх наслідків гіпотези гострого кута. Але його роздуми призвели до сумніву в можливості довести аксіому Евкліда, і до 1816 математика дозріло переконання в неможливості такого доказу. Висловлена публічно думка Гауса про недоказовість аксіоми Евкліда не мала впливу і навіть зазнала грубих нападів. Це було однією з причин, чому він наважився не публікувати своїх досліджень і думок щодо підстав, "боячись крику беотійців" (лист до Бесселя від 27 січня 1829 року). Але він не перервав своїх досліджень і з найбільшим інтересом та співчуттям вітав ті роботи та думки, які збігалися з його дослідженнями та поглядами. Як далеко він пішов цим шляхом, показує його лист до Вольфгангу Боліаї від 6 березня 1832 року, в якому Гаусс говорить, що між 1797 і 1802 роками він знайшов ті результати, до яких прийшов Йоганн Боліаї. Наприклад, чисто геометричний доказ теореми, що в неевклідовій геометрії різниця суми кутів трикутника від 180 градусів пропорційна площі трикутника. Вольфганг Боліаї, друг шкільних років Гаусса, виявляв великий інтерес до теорії паралельних ліній. Цей надзвичайний інтерес, за свідченням його листа до сина в 1820 році, отруїв йому всі радості життя, зробив його мучеником прагнення звільнити геометрію від плями, "видалити хмару, що затемнює красу діви-істини". Але в той час як зусилля майже всього життя батька були спрямовані на доказ 5-го постулатуму, і йому не вдалося досягти мети, його талановитий син став одним із творців неевклідової геометрії. Йоганн Боліаї народився 1802 року в Клаузенбурзі. Вже в 1807 році батько з захопленням і гордістю пише Гауссу про незвичайні математичні здібності хлопчика, який до тринадцяти років вже вивчив планіметрію, стереометрію, тригонометрію, конічні перерізи, а в 14 років вже легко вирішував завдання диференціального та інтегрального числення. Вольфгангу не вдалося послати сина вчитися в Геттінгені у "математичного колосу", і в 1818 Йоганн вступив до Віденської інженерної академії, де приділялася велика увага вищій математиці. У 1823 році він закінчив курс в академії і, як військовий інженер, був посланий у фортецю Теметвар. Цілком природно, що Йоганн, який володів незвичайними математичними здібностями, ще майже хлопчиком вирішив випробувати свої сили на вирішенні того питання, над яким мучився батько, але про який батько ж говорив йому, що вирішив його гідний алмазу величиною в земну кулю. У 1820 році Йоганн повідомляє батькові, що він уже знайшов шлях до доказу аксіоми, і тоді батько пише йому гарячий лист, який застерігає його від заняття теорією паралельних ліній. У зимову ніч 1823 року він знайшов те основне співвідношення між довжиною перпендикуляра, опущеного з точки на пряму, і кутом, що складає з цим перпендикуляром асимптота (паралельна лінія Лобачевського), яке є ключем до неевклідової тригонометрії. У захваті від свого відкриття, яке, здавалося йому, відкривало шлях до доказу XI аксіоми, він пише 3 листопада з Теметвара батькові: "Я створив новий, інший світ з нічого. Все, що посилав досі, є лише картковий будиночок у порівнянні із споруджуваною тепер вежею”. У 1829 році Вольфганг закінчив великий математичний твір, над яким працював близько двадцяти років. Як додаток до цієї книги, було надруковано і безсмертний твір Йоганна Боліаї. Звичайно, Боліаї не підозрювали, що в цей же час у далекій Казані Лобачевський друкував свою першу роботу "Про засади геометрії" (1829). Микола Іванович Лобачевський (1792–1856) народився Макаріївському повіті Нижегородської губернії. Батько його займав місце повітового архітектора і належав до дрібних чиновників, які отримували мізерний зміст. Бідність, що оточувала його в перші дні життя, перейшла в злидні, коли в 1797 помер батько і двадцятип'ятирічна мати залишилася одна з дітьми без жодних коштів. У 1802 році вона привезла трьох синів до Казані і визначила їх до Казанської гімназії, де дуже швидко помітили феноменальні здібності її середнього сина. Коли в 1804 старший клас Казанської гімназії був перетворений в університет, Лобачевський був включений до числа студентів з природничо-наукового відділення. Навчався юнак блискуче. Лобачевський здобув чудову освіту. Лекції з астрономії читав професор Літрофф. Лекції з математики він слухав професора Бартельса, вихованця такого великого вченого, як Карл Фрідріх Гаусс. Вже 1811 року Лобачевський отримав ступінь магістра, і його залишили в університеті для підготовки до професорського звання. В 1814 Лобачевський отримав звання ад'юнкту чистої математики, а в 1816 був зроблений професором. З 1819 року Лобачевський викладав астрономію. Адміністративна діяльність вченого розпочалася з 1820 року, коли його було обрано деканом. Незважаючи на виснажливу практичну діяльність, що не залишала жодної хвилини відпочинку, Лобачевський ніколи не припиняв своїх наукових занять і під час свого ректорства надрукував в "Вчених записках Казанського університету" найкращі свої твори. Якщо Йоган Боліаї почав займатися теорією паралельних ліній під впливом свого батька, то Лобачевський міг почати займатися нею тільки тому, що інтерес до цієї теорії особливо пожвавився наприкінці XVIII і на початку XIX століття. У двадцятип'ятиліття, що передує появі першої роботи Лобачевського, не минало й року, в якому не з'явилося б одне або кілька творів з теорії паралельних ліній. Відомо до 30 творів, надрукованих лише німецькою та французькою мовами з 1813 по 1827 рік. Роботи Лежандра порушили інтерес до теорії паралельних ліній і серед російських математиків. Перший академік з російських, який заслужив своїми друкованими працями почесне місце історія російського математичного викладання, РЄ. Гур'єв у найважливішому зі своїх творів "Досвід про вдосконалення елементів геометрії", надрукованому в 1798, звернув особливу увагу на теорію паралельних ліній і на докази, дані Лежандром. Критикуючи ці докази, Гур'єв пропонує своє власне. Ґрунтуючись на твердженні, що за певних умов прямі, які здаються нам паралельними, можуть перетинатися, Лобачевський дійшов висновку про можливість створення нової, несуперечливої геометрії. Оскільки її існування було неможливо уявити у реальному світі, вчений назвав її "уявною геометрією". Але до цієї думки і він, як і І. Боліа, прийшов не відразу. Лекції 1815-1817 років, підручник геометрії 1823 і не дійшла до нас "Exposition succincte des principes de la geometrie", прочитана в засіданні фізико-математичного відділення 12 лютого 1826, - такі три етапи думки Лобачовських. У лекціях він дає три різні способи для її обґрунтування; У підручнику 1823 року він заявляє, що всі досі дані докази не заслуговують бути поважні в повному розумінні математичними, і, нарешті, через три роки він дає вже ту систему побудови геометрії на положенні, відмінному від постулатуму Евкліда, яка обезсмертила його ім'я. "Exposition" не дійшло до нас. Перший друкований твір Лобачевського, який він називає вилученням з "Exposition", друкувався в "Казанському віснику" у 1829–1830 роках. Ця дата встановлює пріоритет опублікування відкриття Лобачевського порівняно з І. Боліаєм, оскільки "Appendix" останнього був надрукований у 1831 році, а вийшов друком лише в 1832 році. Як свідчить назва " Exposition " , воно мало своїм предметом як точну теорію паралельних ліній, але присвячено було водночас питання початку геометрії. Хоча і І. Боліаї, і Лобачевський за це відкриття були обрані членами Ганноверської академії наук, права громадянства набула у Західній Європі саме геометрія Лобачевського. 1837 року праці Лобачевського друкуються французькою мовою. У 1840 році він видав німецькою мовою свою теорію паралельних, що заслужила визнання великого Гауса. У Росії ж Лобачевський не бачив оцінки своїх наукових праць. Очевидно, дослідження Лобачевського перебували поза розуміння його сучасників. Одні ігнорували його, інші зустрічали його праці грубими глузуваннями і навіть лайкою. У той час як наш інший високоталановитий математик Остроградський користувався заслуженою популярністю, ніхто не знав Лобачевського; до нього і сам Остроградський ставився то глузливо, то вороже. Цілком правильно або, вірніше, ґрунтовно один геометр назвав геометрію Лобачевського зоряною геометрією. Про нескінченні відстані можна скласти собі поняття, якщо згадати, що існують зірки, від яких світло доходить до Землі тисячі років. Отже, геометрія Лобачевського включає геометрію Евкліда не як окремий, а як особливий випадок. У цьому вся сенсі першу можна назвати узагальненням геометрії нам відомої. Тепер постає питання, чи належить Лобачевському винахід четвертого виміру? Анітрохи. Геометрія чотирьох і багатьох вимірів була створена німецьким математиком, учнем Гауса, Ріманом. Вивчення властивостей просторів у загальному вигляді становить тепер неевклідову геометрію, чи геометрію Лобачевського. Простір Лобачевського є простір трьох вимірів, який відрізняється від нашого тим, що в ньому немає місця постулат Евкліда. Властивості цього простору нині усвідомлюються при допущенні четвертого виміру. Але цей крок належить послідовникам Лобачевського. Звичайно виникає питання, де ж знаходиться такий простір. Відповідь на нього була дана найбільшим фізиком XX століття Альбертом Ейнштейном. Ґрунтуючись на роботах Лобачевського та постулатах Рімана, він створив теорію відносності, що підтвердила викривленість нашого простору. Відповідно до цієї теорії будь-яка матеріальна маса викривляє навколишній простір. Теорія Ейнштейна була багаторазово підтверджена астрономічними спостереженнями, в результаті яких стало ясно, що геометрія Лобачевського є одним із фундаментальних уявлень про навколишній світ. Автор: Самін Д.К.
Машина для проріджування квітів у садах
02.05.2024 Удосконалений мікроскоп інфрачервоного діапазону
02.05.2024 Пастка для комах
01.05.2024
▪ Миші SteelSeries Prime Mini та Prime Mini Wireless ▪ Сонечка - прототипи для рятувальних роботів ▪ Вчені вважають, що глобальне потепління стало незворотнім
▪ розділ сайту Попередні підсилювачі. Добірка статей ▪ стаття Оноре де Бальзак. Знамениті афоризми ▪ стаття Чому морські слони не страждають від декомпресії? Детальна відповідь ▪ стаття Розточувальний верстат - з фрезерного. Домашня майстерня ▪ стаття Електростатичний фільтр у пилососі. Енциклопедія радіоелектроніки та електротехніки ▪ стаття Перетворювач напруги, 12/220 вольт 100 ват. Енциклопедія радіоелектроніки та електротехніки
Головна сторінка | Бібліотека | Статті | Карта сайту | Відгуки про сайт
www.diagram.com.ua |
Рекомендуємо цікаві статті розділу 
Дивіться інші статті розділу 
Останні новини науки та техніки, новинки електроніки:
All languages of this page