|
Arabic
Bengali
Chinese
English
French
German
Hebrew
Hindi
Italian
Japanese
Korean
Malay
Polish
Portuguese
Spanish
Turkish
Ukrainian
Vietnamese
ВАЖЛИВІ НАУКОВІ ВІДКРИТТЯ
Основна теорема алгебри. Історія та суть наукового відкриття
Довідник / Найважливіші наукові відкриття "Основна теорема алгебри у вигляді твердження: алгебраїчне рівняння має стільки коренів, який його ступінь, висловлений Жираром і Декартом, – зазначає у своїй книзі "У світі рівнянь" В.А. Нікіфоровський. - Її формулювання, яке полягає в тому, що алгебраїчний багаточлен з дійсними коефіцієнтами розкладається у добуток дійсних лінійних та квадратичних множників, належить Д'Аламберу та Ейлеру. Ейлер вперше повідомив про це листі Миколі I Бернуллі (1687–1759) від 1 вересня 1742 року. Звідси випливало, що коріння рівнянь алгебри з дійсними коефіцієнтами належать полю комплексних чисел». Перший доказ теореми зробив у 1746 Д'Аламбер (1717-1783). Доказ основної теореми алгебри, виконаний Д'Аламбером, був, однак, аналітичним, а не алгебраїчним. Французький математик скористався не оформленими ще тоді поняттями аналізу, такими, як статечний ряд, нескінченно мала. Не дивно, що доказ теореми страждав на похибки і пізніше зазнав розгромної критики Гауса, а потім було забуто. Новий та значний крок у доказі основної теореми алгебри зробив Ейлер. Леонард Ейлер (1707-1783) народився у Базелі. Після закінчення домашнього навчання тринадцятирічний Леонард був відправлений батьком до Базельського університету для слухання філософії. Серед інших предметів на цьому факультеті вивчали елементарну математику та астрономію, які викладав Йоганн Бернуллі. Незабаром Бернуллі помітив талановитість юного слухача та почав займатися з ним окремо. Здобувши в 1723 році ступінь магістра, після вимови мови латинською про філософію Декарта і НьютонаЛеонард, за бажанням свого батька, приступив до вивчення східних мов і богослов'я. Але його все більше тягло до математики. Ейлер став бувати в будинку свого вчителя, і між ним і синами Йоганна Бернуллі - Миколою та Данилом - виникла дружба, яка відіграла дуже велику роль у житті Леонарда. У 1725 році брати Бернуллі були запрошені до членів Петербурзької академії наук. Вони сприяли з того що і Ейлер переїхав у Росію. Відкриття Ейлера, які завдяки його жвавій листуванні нерідко ставали відомими задовго до видання, роблять його ім'я все більш широко відомим. Поліпшується його становище в Академії наук в 1727 році він почав роботу в званні ад'юнкту, тобто молодшого за рангом академіка, а в 1731 він став професором фізики, тобто дійсним членом Академії. У 1733 отримав кафедру вищої математики, яку до нього займав Д Бернуллі, який повернувся цього року в Базель. Зростання авторитету Ейлера знайшло своєрідне відображення у листах до нього його вчителя Йоганна Бернуллі. У 1728 році Бернуллі звертається до "вченого і обдарованого юного чоловіка Леонарда Ейлера", в 1737 році - до "знаменитого і дотепного математика", а в 1745 році - до "незрівнянного Леонарда Ейлера - главі математиків". 1736 року з'явилися два томи його аналітичної механіки. Потреба у цій книзі була великою. Чимало було написано статей з різних питань механіки, але хорошого трактату з механіки ще не було. В 1738 з'явилися дві частини введення в арифметику німецькою мовою, в 1739 - нова теорія музики. Наприкінці 1740 року влада у Росії перейшла до рук регентші Анни Леопольдівни та її оточення. У столиці склалася тривожна ситуація. У цей час прусський король Фрідріх II задумав відродити засноване ще Лейбниця Суспільство наук у Берліні, довгі роки майже бездіяльне. Через свого посла у Петербурзі король запросив Ейлера до Берліна. Ейлер, вважаючи, що "становище почало представлятися досить невпевненим", запрошення прийняв. У Берліні Ейлер спочатку зібрав біля себе невелике вчене товариство, а потім був запрошений до складу новоствореної королівської Академії наук і призначений деканом математичного відділення. В 1743 він видав п'ять своїх мемуарів, з них чотири з математики. Одна з цих праць чудова у двох відносинах. У ньому вказується на спосіб інтегрування раціональних дробів шляхом розкладання їх на приватні дроби і, крім того, викладається звичайний спосіб інтегрування лінійних звичайних рівнянь вищого порядку з постійними коефіцієнтами. Взагалі більшість робіт Ейлера присвячено аналізу. Ейлер так спростив і доповнив цілі великі відділи аналізу нескінченно малих, інтегрування функцій, теорії рядів, диференціальних рівнянь, розпочаті вже до нього, що вони набули приблизно тієї форми, яка за ними значною мірою залишається і досі. Ейлер, крім того, почав цілу нову главу аналізу – варіаційне обчислення. Це його починання незабаром підхопив Лагранж і склалася нова наука. Доказ Ейлера основної теореми алгебри опубліковано в 1751 році в роботі "Дослідження про уявне коріння рівнянь". Ейлер виконав найбільше доказ теореми алгебри. Пізніше основні ідеї повторювалися і поглиблювалися іншими математиками. Так, методи дослідження рівнянь набули розвитку спочатку у Лагранжа, а потім увійшли складовою до теорії Галуа. Основна теорема полягала у тому, що це коріння рівняння належать полю комплексних чисел. Для доказу подібного становища Ейлер встановив, що кожен многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на твір дійсних лінійних чи квадратичних множників. Значення чисел, що не є дійсними, "Ейлер називав уявними, - пише Никифоровський, - і вказував, що зазвичай вважають їх такими, які попарно в сумі і творі дають дійсні числа Отже, якщо уявних коренів буде 2 т, то це дасть дійсних квадратичних множників у поданні багаточлена. Ейлер пише: "Тому кажуть, що кожне рівняння, яке не можна розкласти на дійсні прості множники, має завжди дійсні множники другого ступеня. Однак ніхто, наскільки я знаю, ще не довів досить строго істинність цієї думки; я намагатимуся тому дати йому доказ, який охоплює всі без винятку випадки”. Такої ж концепції дотримувалися Лагранж, Лапласа та деякі інші послідовники Ейлера. Не згоден був Гаус. Ейлер сформулював три теореми, які з властивостей безперервних функцій. 1. Рівняння непарного ступеня має щонайменше один дійсний корінь. Якщо таких коренів більше одного, то число їх непарне. 2. Рівняння парного ступеня або має парне число дійсних коренів, або немає їх зовсім. 3. Рівняння парного ступеня, у якого вільний член негативний, має щонайменше два дійсні корені різних знаків. Після цього Ейлер довів теореми про розкладність на лінійні та квадратичні дійсні множники багаточленів з дійсними коефіцієнтами... При доказі основної теореми Ейлер встановив дві властивості алгебраїчних рівнянь: 1) раціональна функція коренів рівняння, що приймає при всіх можливих перестановках коренів А різних значень, задовольняє рівняння ступеня А коефіцієнти якого виражаються раціонально через коефіцієнти даного рівняння; 2) якщо раціональна функція коренів рівняння інваріантна (не змінюється) щодо перестановок коренів, вона раціонально виражається через коефіцієнти вихідного рівняння". П.С. Лаплас у лекціях з математики 1795 року, за Ейлером і Лагранжем, допускає розкладання многочлена на множники. При цьому Лаплас доводить, що вони будуть дійсними. Таким чином, і Ейлер, і Лагранж, і Лаплас будували доказ основної алгебриної теореми на припущенні існування поля розкладання многочлена на множники. Особлива роль доказах основний теореми належить " королю математиків " Гауссу. Карл Фрідріх Гаус народився (1777–1855) у Брауншвейзі. Він успадкував від рідних батька міцне здоров'я, а від рідних матері яскравий інтелект. У сім років Карл Фрідріх вступив до Катерининської народної школи. У 1788 році Гаус переходить до гімназії. Втім, у ній не вчать математики. Тут вивчають класичні мови. Гаус із задоволенням займається мовами і робить такі успіхи, що навіть не знає, ким він хоче стати – математиком чи філологом. Про Гауса дізнаються при дворі. 1791 року його представляють Карлу Вільгельму Фердинанду - герцогу Брауншвейгському. Хлопчик буває у палаці та розважає придворних мистецтвом рахунки. Завдяки заступництву герцога Гаусс зміг у жовтні 1795 року вступити до Геттінгенського університету. Спочатку він слухає лекції з філології і майже не відвідує лекцій з математики. Але це не означає, що він не займається математикою. У 1795 році Гаусса охоплює пристрасний інтерес до цілих чисел. Восени того ж року Гаусс переїжджає в Геттінген і прямо-таки ковтає літературу, що вперше потрапила до його рук: роботи Ейлера і Лагранжа. «30 березня 1796 року настає йому день творчого хрещення. усвідомив, що з його теорії випливає побудова сімнадцятикутника... Ця подія стала поворотним пунктом життя Гауса. Він вирішує присвятити себе не філології, а виключно математики". Робота Гауса надовго стає недосяжним зразком математичного відкриття. Один із творців неевклідової геометрії Янош Бойяї називав його "найблискучішим відкриттям нашого часу або навіть усіх часів". Тільки важко було це відкриття осягнути! Завдяки листам на батьківщину великого норвезького математика Абеля, який доказав нерозв'язність у радикалах рівняння п'ятого ступеня, ми знаємо про важкий шлях, який він пройшов, вивчаючи теорію Гауса. У 1825 році Абель пише з Німеччини: "Якщо навіть Гаусс - найбільший геній, він, очевидно, не прагнув, щоб все це відразу зрозуміли..." Робота Гаусса надихає Абеля на побудову теорії, в якій "стільки чудових теорем, що просто не віриться". Безперечно вплив Гауса і на Галуа. Сам Гаус зберіг зворушливу любов до свого першого відкриття на все життя. 30 березня 1796 року, у день, коли було побудовано правильний семнад-цатиугольник, починається щоденник Гаусса - літопис його чудових відкриттів. Наступний запис у щоденнику з'явився вже 8 квітня. У ній повідомлялося про доказ теореми квадратичного закону взаємності, яку він назвав "золотою". Окремі випадки цього твердження довели Ферма, Ейлер, Лагранж. Ейлер сформулював загальну гіпотезу, неповне підтвердження якої дав Лежандр. 8 квітня Гаус знайшов повний доказ гіпотези Ейлера. Втім, Гаус ще не знав про роботи своїх великих попередників. Весь нелегкий шлях до "золотої теореми" він пройшов самотужки! Два великі відкриття Гаус зробив протягом усього 10 днів, за місяць до того, як йому виповнилося 19 років! Одна з найдивовижніших сторін "феномена Гауса" полягає в тому, що він у своїх перших працях практично не спирався на досягнення попередників, перевідкривши за короткий термін те, що було зроблено в теорії чисел за півтора століття працею найбільших математиків. 1801 року вийшли знамениті "Арифметичні дослідження" Гауса. Ця величезна книга (понад 500 сторінок великого формату) містить основні результати Гауса. "Арифметичні дослідження" вплинули на подальший розвиток теорії чисел і алгебри. Закони взаємності досі займають одне з центральних місць в теорії чисел алгебри. У Брауншвейгу Гаус не мав можливості знайомитися з літературою, необхідною для роботи над "Арифметичними дослідженнями". Тому він часто їздив до сусіднього Гельмштадта, де була гарна бібліотека. Тут у 1798 році Гаусс підготував дисертацію, присвячену доведенню основної алгебриної теореми. Гаус залишив після себе відразу чотири докази основної теореми алгебри. Першому доказу він присвятив випущену в 1799 докторську дисертацію під назвою "Новий доказ теореми про те, що будь-яка ціла раціональна алгебраїчна функція одного неодмінного може бути розкладена на дійсні множники першого і другого ступеня". Гаусс не преминув звернути увагу на прогалини у Ейлера, а головне, розкритикував саму постановку питання, коли заздалегідь передбачалося існування коренів рівнянь. Перший доказ Гауса, як і Д'Аламбера, був аналітичним. У другому доказі, виконаному ним у 1815 році, знаменитий математик знову повернувся до критики доказу основної алгебриної теореми за допомогою міркування, коли заздалегідь передбачається існування коренів рівняння. Гаус так пояснив у вступному параграфі необхідність нового доказу: "Хоча доказ про розкладання цілої раціональної функції на множники, яке я дав у мемуарі, опублікованому 16 років тому, не залишає бажати кращого щодо суворості та простоти, треба сподіватися, що математики вважати небажаним, що я знову повертаюся до цього надзвичайно важливого питання і роблю побудову другого не менш суворого доказу, виходячи з інших принципів, а саме, цей перший доказ залежав частково від геометричних розглядів, тоді як той, який я тут починаю пояснювати, спочиває на суто аналітичних принципах". Слід зазначити, те, що Гаусс називає аналітичним способом, сьогодні називається алгебраїчним. Для доказу Гаус використовував побудови поля розкладання багаточлена. Минуло понад шістдесят років, коли і Л Кронекер удосконалив і розвинув метод Гауса для побудови поля розкладання будь-якого багаточлена. Згодом Гаус дав ще два докази основної теореми алгебри. Четверте та останнє належить до 1848 року. Головний результат доказів основної теореми алгебри Ейлером, Лагранжем і Гауссом, вважає І.Г. Башмакова було те, що "алгебраїчні докази основної теореми алгебри цінні саме тим, що для їх проведення були розвинені нові глибокі методи самої алгебри і були випробувані сили вже створених методів і прийомів". Автор: Самін Д.К.
▪ Теорія електролітичноїдисоціації
Машина для проріджування квітів у садах
02.05.2024 Удосконалений мікроскоп інфрачервоного діапазону
02.05.2024 Пастка для комах
01.05.2024
▪ Акумулятор діаметром 3,5 мм для електроніки, що носиться. ▪ Дешеві мікросхеми - генератори сигналів ▪ Безпілотні роботи заряджатимуть електромобілі ▪ Електропроводка збільшує покриття мережі 802.11b/g/n Wi-Fi
▪ Розділ сайту Електронні довідники. Добірка статей ▪ стаття Солодкий тягар слави. Крилатий вислів ▪ стаття Бузина чорна. Легенди, вирощування, способи застосування ▪ стаття Олівець та книга. Фізичний експеримент
Головна сторінка | Бібліотека | Статті | Карта сайту | Відгуки про сайт
www.diagram.com.ua |
Рекомендуємо цікаві статті розділу 
Дивіться інші статті розділу 
Останні новини науки та техніки, новинки електроніки:
All languages of this page